MDS码在有限域扩张上的补全判据与计数

Yangcheng Li 在 arXiv 预印本中研究：给定 $\mathbb{F}_q^n$ 中固定的 $(k-1)$ 维线性码 $U$（$2\le k\le n$），何时能在 $\mathbb{F}_q$ 的某个有限扩张上把它补全为 $[n,k]$ MDS 码。作者声称证明了充要条件：$U$ 存在这样的 MDS 补全，当且仅当 $d(U)\ge n-k+1$；并给出满足条件时 $\mathbb{F}_{q^m}$ 上这类 MDS 码的计数。该结论目前仅见于预印本，尚待同行评审与独立核验。 方法上，作者构造 $U$ 的辅助线性码，用其全重字刻画所需的 MDS 补全。计数部分附有例子：这些数目有时能区分同一列拟阵的不同表示，而单项不等价的码可能在每个有限扩张上计数相同——说明计数并非单项等价类的完全不变量。 需注意适用范围：结论针对固定 $(k-1)$ 维子码在有限域扩张上的补全，条件以 $U$ 的最小距离表述，不能直接推广为一般 MDS 码存在性问题。

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还没有足够的连续观测数据，暂不绘制趋势。