拟线性Alt-Caffarelli问题奇异集余维下界

Antonio De Rosa 在 arXiv 预印本中研究非负一致凸函数 $\Phi$ 对应的拟线性 Alt-Caffarelli 能量 $\int_{\Omega}\Phi(\nabla u)+\chi_{\{u>0\}}$ 的非负极小元，声称在 $\Phi$ 的温和正则性假设下，自由边界奇异集的余维至少为 $2+\eta$，其中 $\eta>0$。该结论目前仅为预印本声明，尚未见同行评审或独立复核。 结果针对非负、一致凸的 $\Phi$ 及相应非负极小元；余维下界依赖对 $\Phi$ 的正则性假设，$\eta$ 的具体取值未在报道中给出。作者称将另文给出三维奇异极小元，并据此认为在整数维意义下该估计是 sharp 的；这一 sharp 性依赖尚待发表的工作。 经典 Alt-Caffarelli 问题对应 $\Phi(\nabla u)=|\nabla u|^2$，此处推广到一般凸 $\Phi$，奇异集估计的适用范围随 $\Phi$ 的假设而变化。

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还没有足够的连续观测数据，暂不绘制趋势。